【題目】已知函數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)﹣1<a<0時(shí),f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0隨著a的增大而增大.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)先求得函數(shù)的定義域,求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對分成等四種情況進(jìn)行分類討論,由此求得的單調(diào)區(qū)間.
(2)時(shí),由(1)得到的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出存在唯一零點(diǎn).令,由此對分離常數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得隨增大而增大.
(1)f(x)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞);
;
①當(dāng)a=0時(shí),,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)a>0時(shí),,而;
則f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
③當(dāng)﹣1≤a<0時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
④當(dāng)a<﹣1時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
綜上,當(dāng)a<﹣1時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
(2)由(1)得當(dāng)﹣1<a<0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
∴f(x)至多有一個零點(diǎn);
又﹣1<a<0;
∴,f(1)=a+1>0,;
令g(x)=x﹣1﹣lnx,則;
∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
g(x)≥g(1)=0,即x﹣1﹣lnx≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號;
∴;
∴f(x)存在唯一得零點(diǎn);
由f(x0)=0,得,即;
∵x0∈(1,+∞),;
∴,即a是x0的函數(shù);
設(shè),x∈(1,+∞),則;
∴h(x)為(1,+∞)上的增函數(shù);
∴隨增大而增大,反之亦成立.
∴x0隨著a的增大而增大.
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【題目】如圖,四邊形是平行四邊形,平面平面,,,,,,,G為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為,點(diǎn)在該橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)位于第一象限,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí),滿足,問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】南北朝時(shí),張邱建寫了一部算經(jīng),即《張邱建算經(jīng)》,在這本算經(jīng)中,張邱建對等差數(shù)列的研究做出了一定的貢獻(xiàn).例如算經(jīng)中有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中間三人未到者,亦依等次更給”,則某一等人比其下一等人多得________斤金.(不作近似計(jì)算)
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【題目】已知f(x)是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對任意的x∈都有,則方程的一個根所在的區(qū)間是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時(shí),寫出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),試確定的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,,且,求證.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,且AB=,BC=1,E,F分別為AB,PC中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:平面PAC⊥平面PDE.
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【題目】關(guān)于函數(shù)有下列四個結(jié)論:
①是偶函數(shù);②的最小正周期為;③在上單調(diào)遞增;④的值域?yàn)?/span>.
上述結(jié)論中,正確的為( )
A.③④B.②④C.①③D.①④
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