【題目】已知橢圓,若橢圓,則稱橢圓與橢圓 “相似”.

(1)求經(jīng)過點,且與橢圓 “相似”的橢圓的方程;

(2)若,橢圓的離心率為,在橢圓上,過的直線交橢圓,兩點,且.

①若的坐標為,且,求直線的方程;

②若直線,的斜率之積為,求實數(shù)的值.

【答案】(1);(2)①,②.

【解析】試題分析:

⑴設橢圓的方程為,結合橢圓過點可得橢圓的方程為.

⑵由題意設橢圓,橢圓,設,

①方法一:聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得,,代入橢圓可得,解得,直線的方程為.

方法二:由題意得則橢圓,

,則,聯(lián)立橢圓方程可得, 則直線的方程為.

②方法一: 由題意得,結合,則,可得:,

整理計算得到關于的方程:,.

方法二:不妨設點在第一象限,直線,與橢圓方程聯(lián)立可得,則,直線的斜率之積為,計算可得,則,結合,可得,即,.

試題解析:

⑴設橢圓的方程為,代入點

所以橢圓的方程為.

⑵因為橢圓的離心率為,故,所以橢圓,

又橢圓與橢圓相似,且,所以橢圓,

,

①方法一:由題意得,所以橢圓,將直線

代入橢圓,

解得,故

所以,

,即中點,所以,

代入橢圓

,即,所以,

所以直線的方程為.

方法二:由題意得,所以橢圓,

,則,

代入橢圓得,解得,故,

所以

所以直線的方程為.

②方法一: 由題意得,

,即

,則,解得

所以,

,

所以,即,所以.

方法二:不妨設點在第一象限,設直線,代入橢圓,

解得,則,

直線的斜率之積為,則直線,代入橢圓,

解得,則

,則,解得,

所以,

,

所以,

,即,所以.

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,證明:

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