Question

【題目】【2018甘肅蘭州市高三一診】已知圓： ，過(guò)且與圓相切的動(dòng)圓圓心為．

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于， 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于， 兩點(diǎn)，且，垂足為（， ， ， 為不同的四個(gè)點(diǎn)）．

①設(shè)，證明： ；

②求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（I）．（II）①見(jiàn)解析．②．

【解析】試題分析：

（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，由題意可得 ，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為.

（2）①由題意可知，而， ， ， 為不同的四個(gè)點(diǎn)，故.

②若或的斜率不存在，四邊形的面積為.否則，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，同理得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.則四邊形的面積取得最小值為.

試題解析：

（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，

則， ， ，

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是橢圓， ， ， ，

的方程為.

（2）①證明：由已知條件可知，垂足在以為直徑的圓周上，

則有，

又因， ， ， 為不同的四個(gè)點(diǎn)， .

②解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.

若兩條直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，

則的方程為，

解方程組，得 ，

則，

同理得，

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為.