Question

20．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條直線，當直線斜率為l時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{10}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）
• D． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）

Answer 1

分析 斜率為1的直線l過雙曲線C₁的右焦點，且與雙曲線C₁左右支各有一個交點，可得$\frac{a}$＞1，再利用離心率的計算公式即可得出e＞$\sqrt{2}$；再由直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則$\frac{a}$＜3，求得e＜$\sqrt{10}$．進而得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由斜率為1的直線l過雙曲線C₁的右焦點，
且與雙曲線C₁左右支各有一個交點，
則$\frac{a}$＞1，即b²＞a²，c²＞2a²，
可得e＞$\sqrt{2}$；
又當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，
則$\frac{a}$＜3，即即b²＜9a²，c²＜10a²，
可得e＜$\sqrt{10}$．
綜上可得，$\sqrt{2}$＜e＜$\sqrt{10}$．
故選：C．

點評 本題考查離心率的范圍，注意運用漸近線的斜率與直線的斜率的關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．