Question

15．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$右焦點作雙曲線其中一條漸近線的垂線與兩漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB的面積為$\frac{{6{a^2}}}{5}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|OB|=a，△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ，結合條件可得a，b的關系，再由離心率公式即可計算得到．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設兩條漸近線的夾角為θ，
則tanθ=tan∠AOB=$\frac{\frac{a}-（-\frac{a}）}{1+\frac{a}•（-\frac{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設右焦點為F，FB⊥OB，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|OB|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{6{a}^{2}}{5}$，
即為6a²-5ab-6b²=0，
解得b=$\frac{2}{3}$a，即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的幾何性質，離心率的求法，注意運用點到直線的距離公式和兩直線的夾角公式，考查運算能力，屬于中檔題．