Question

8．如圖，在直角三角形SOC中，直角邊OC的長(zhǎng)為4，SC為斜邊，OB⊥SC，現(xiàn)將三角形SOC繞SO旋轉(zhuǎn)一周，若△SOC形成的幾何體的體積為V，△SOB形成的體積為$\frac{V}{4}$，則V=$\frac{64π}{3}$．

Answer 1

分析 旋轉(zhuǎn)一周后，△SOC形成的幾何體為底面半徑為4的圓錐，△SOB形成的幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，根據(jù)他們的體積關(guān)系求出B到SO的距離，再根據(jù)相似三角形解出SO的長(zhǎng)，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：過(guò)B作BA⊥SO于點(diǎn)A，
則V=$\frac{1}{3}•$π4²•SO=$\frac{16π}{3}•$SO，
$\frac{V}{4}$=$\frac{1}{3}$•π•BA²•SA+$\frac{1}{3}$•π•BA²•OA=$\frac{1}{3}$•π•BA²•SO．
∴BA=2，
∴BA是△SOC的中位線，即A是SO的中點(diǎn)，
∵SO⊥SC，
∴△SAB∽△BAO，
∴$\frac{SA}{AB}=\frac{AB}{AO}$，即SA•AO=AB²=4，
∵SA=AO，∴SA=AO=2，∴SO=2SA=4，
∴V=$\frac{16π}{3}•$SO=$\frac{64π}{3}$．
故答案為$\frac{64π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的體積，求出AB的長(zhǎng)是關(guān)鍵．