Question

19．已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a（ω＞0）圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），且圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{3}$，求sin（4α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和差的余弦公式結(jié)合輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用條件建立方程關(guān)系求出a和ω即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{3}$，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及倍角公式即可求sin（4α-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a=4cosωx•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）+a
=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx+a=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+a+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1+a+1=a+2=1，即a=-1，
∵圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
∴函數(shù)的周期T=$\frac{π}{2}$×2=π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，
解得ω=1，
即f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{3}$，則2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{3}$，即sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（4α-$\frac{π}{6}$）=sin[2（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=-cos2（2α+$\frac{π}{6}$）=-1+2sin²（2α+$\frac{π}{6}$）=-1+2×$（\frac{2}{3}）^{2}$=-1+$\frac{8}{9}$=-$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求值，利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．