Question

18．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ（λ≠0），其中左準線方程為x=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
（1）求λ的值及左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂的坐標；
（2）設(shè)M是雙曲線C上一點，且|OM|=$2\sqrt{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓E的兩個頂點，并且橢圓E過點M，求橢圓E的標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的準線方程，求出λ的值，繼而求出雙曲線的方程，得到焦點坐標，
（2）M（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，求出M的坐標，分情況討論，橢圓的焦點在x軸上，還是y軸上，設(shè)出橢圓的標準方程，解得即可．

解答 解：（1）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ（λ≠0），左準線方程為x=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴a²=4λ，b²=λ，
∴c²=4λ+λ=5λ，即c=$\sqrt{5λ}$，
∴-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4λ}{\sqrt{5λ}}$=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
解得λ=2，
∴c²=10，即c=$\sqrt{10}$，
∴左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂的坐標分別為（-$\sqrt{10}$，0），（$\sqrt{10}$，0）；
（2）由（1）知曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
設(shè)M（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}=8}\\{{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
M的坐標為（2$\sqrt{2}$，0），或為（-2$\sqrt{2}$，0）
當橢圓的焦點在x軸上時，此時a=$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{2}$，故M點不在橢圓上，這與題設(shè)相矛盾，
故橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標準，$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$，
∵橢圓E過點M，
∴$\frac{8}{^{2}}$=1，即b²=8，
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

點評 本題考查了雙曲線集合橢圓的標準方程，以及雙曲線的準線方程，以及點與點的距離，屬于中檔題．