Question

如圖（1），PD是四棱錐P-ABCD的高，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°

（1）當正視方向與向量

AD

的方向相同時，畫出四棱錐P-ABCD的正視圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）
（2）如圖（2），E為PA的中點，G是CB上任意一點，過E，D，G三點的平面與側(cè)面PCB交于GH．
①證明：ED∥平面PCB
②判斷四邊形EDGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,簡單空間圖形的三視圖

專題：作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）可由線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PCD，在直角梯形ABCD中，求得AB=6，在直角△PAD中，求得PD=4

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，即可畫出正視圖；
（2））①取AB的中點M，連接EM，DM，由線面平行的判定定理，可證EM∥平面PCB，DM∥平面PCB，即有平面EDM∥平面PCB，由于ED?平面EDM，則ED∥平面PCB；
②可由線面平行的性質(zhì)定理，得到ED∥GH，由于G是CB上任意一點，則四邊形EDGH的形狀為梯形．

解答： （1）解：由于PD⊥面ABCD，則PD⊥AD，
又AD⊥AB，AB∥DC，
則AD⊥CD，則有AD⊥平面PCD，
在直角梯形ABCD中，AD=4，
CD=3，BC=5，則AB=6，
在直角△PAD中，AD=4，
∠PAD=60°
則PD=4tan60°=4

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．
則當正視方向與
向量

AD

的方向相同時，
四棱錐P-ABCD的正視圖如右圖．
（2）①證明：取AB的中點M，連接EM，DM，
在△PAB中，PE=EA，AM=BM，
則EM∥PB，由EM?平面PCB，即有EM∥平面PCB，
DM∥CB，DM?平面PCB，則有DM∥平面PCB，
又EM∩DM=M，則平面EDM∥平面PCB，
由于ED?平面EDM，則ED∥平面PCB；
②四邊形EDGH的形狀為梯形．
理由如下：由①得，ED∥平面PCB，
又ED?平面EDGH，平面EDGH∩平面PCB=GH，
則ED∥GH，
由于G是CB上任意一點，
則四邊形EDGH為梯形．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查空間三視圖的作法，屬于中檔題．