Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足a_n+S_n=2n，則a_n=$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

Answer 1

分析 由a_n+S_n=2n，求出a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，則$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，即數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)一步計(jì)算即可得到答案．

解答 解：由a_n+S_n=2n，得a₁+a₁=2，即a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n-1+S_n-1=2（n-1），
則a_n-a_n-1+a_n=2，即${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+1$，
∴${a}_{n}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，
則$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-2=-1•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
則${a}_{n}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
故答案為：$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．