Question

9．設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，則f（2016）的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． 1
• D． 2016

Answer 1

分析 通過已知$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，分別求出f（0），f（1），f（2），f（3）…發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測結(jié)果．

解答 解：因為$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，令x=-1得到，$f（0）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（-1）-{[f（-1）]}^{2}}$=1；
令x=0得到$f（1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（0）-{[f（0）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令x=1，得到$f（2）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（1）-{[f（1）]}^{2}}$=1，
…
函數(shù)的周期為2．
所以f（2016）=f（0）=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了特殊函數(shù)的函數(shù)值的求法，抽象函數(shù)以及函數(shù)的周期的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．