Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-$\frac{a}{2}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個不同的零點(diǎn)；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個不同的零點(diǎn)，求|x₁-x₂|的取值范圍；
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=-$\frac{a}{2}$得出a，b，c的關(guān)系，計(jì)算判別式得出結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂，x₁x₂，利用公式|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$得出范圍；
（3）討論f（0），f（2），f（1）的符號，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）∵$f（1）=a+b+c=-\frac{a}{2}$，
∴$c=-\frac{3}{2}a-b$，∴$f（x）=a{x^2}+bx-\frac{3}{2}a-b$，
∴$△={b^2}-4a（-\frac{3}{2}a-b）={b^2}+6{a^2}+4ab={（2a+b）^2}+2{a^2}$，
∵a＞0，
∴△＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）有兩個不同的零點(diǎn)．
（2）由x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個不同的零點(diǎn)，
則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{a}$，${x_1}{x_2}=-\frac{a}-\frac{3}{2}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}+4（\frac{a}+\frac{3}{2}）}$=$\sqrt{（\frac{a}+2）^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$．
∴|x₁-x₂|的取值范圍是$[\sqrt{2}，+∞）$．
（3）證明：∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，
由（1）知：3a+2b+2c=0，
∴f（2）=a-c．
（ⅰ）當(dāng)c＞0時，有f（0）＞0，又∵a＞0，
∴$f（1）=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．
（ⅱ）當(dāng)c≤0時，f（2）=a-c＞0，f（1）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，零點(diǎn)的存在性定理，屬于中檔題．