Question

6．已知圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，r＞0）與直線x=1相切，圓心C在直線4x-3y=0上，且到直線x-y-1=0的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求a，b，r的值；
（2）已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P是圓C上的任意一點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓的相切關(guān)系以及圓心到直線的距離關(guān)系建立方程關(guān)系即可求a，b，r的值；
（2）利用向量法結(jié)合數(shù)量積的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，r＞0）與直線x=1相切，
則|a-1|=r，
圓心C在直線4x-3y=0上，則4a-3b=0，即b=$\frac{4}{3}a$，
圓心到直線x-y-1=0的距離為$\sqrt{2}$．
則d=$\frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即|a-b-1|=2，
則|a-$\frac{4}{3}a$-1|=2，
即|1+$\frac{a}{3}$|=2，
即1+$\frac{a}{3}$=2或1+$\frac{a}{3}$=-2，
解得a=3或a=-9（舍），
則b=4，r=|3-1|=2，
即a=3，b=4，r=2；
（2）設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得$\overrightarrow{OA}$=（-1，0），$\overrightarrow{OB}$=（1，0），
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-1，
又由中點(diǎn)公式得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$）²-2$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（2$\overrightarrow{PO}$）²-2（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$）
=4|$\overrightarrow{PO}$|²-2$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$-2|$\overrightarrow{OP}$|²+2$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）=2|$\overrightarrow{OP}$|²+2，
又∵$\overrightarrow{OC}$=（3，4），點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上，
∴|$\overrightarrow{OC}$|=5，|$\overrightarrow{CP}$|=2，且$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CP}$，
∴|$\overrightarrow{OC}$|-|$\overrightarrow{CP}$|≤|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$≤|$\overrightarrow{OP}$|+|$\overrightarrow{CP}$|，
即3≤|$\overrightarrow{OP}$|≤7，
故20≤|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=2|$\overrightarrow{OP}$|²+2≤100，
∴|PA|²+|PB|²的最大值為100，最小值為20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間距離的應(yīng)用，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．