Question

17．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₅=16，若對(duì)任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=an²+bn，其中a，b為常數(shù)，則128^a+2^b的最小值為32．

Answer 1

分析 由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得7a+b=8，而128^a+2^b=2^7a+2^b，由基本不等式可得．

解答 解：由題意可得a₁+a₂+a₃+…+a₇=49a+7b，
∴由求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$
=$\frac{7}{2}$（a₃+a₅）=$\frac{7}{2}$×16=49a+7b，即7a+b=8，
∴128^a+2^b=2^7a+2^b≥2$\sqrt{{2}^{7a+b}}$=32
當(dāng)且僅當(dāng)2^7a=2^b即a=$\frac{4}{7}$且b=4時(shí)取等號(hào)，
故答案為：32

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．