Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≥4，試討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x-2，x＜2}\end{array}\right.$；由二次函數(shù)的性質(zhì)寫出單調(diào)區(qū)間即可；
（2）按分段函數(shù)討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再由方程求根，從而得到零點(diǎn)．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x-2，x＜2}\end{array}\right.$；
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，1]上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（2）當(dāng)a≥4時(shí)，
f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（a）=-a＜0；
∴f（x）在[a，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，
由x²-ax-a=0解得，
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，在（$\frac{a}{2}$，a）上是減函數(shù)；
而f（a）=-a＜0，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a（a-4）}{4}$≥0；
①當(dāng)a=4時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）在（-∞，a）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由-x²+ax-a=0解得，
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$．
綜上所述，
當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為2，2+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．