Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C：x²+y²-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若點(diǎn)A恰好使線(xiàn)段OB的中點(diǎn)，則圓心C到直線(xiàn)l的距離為$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出直線(xiàn)方程，和圓的方程聯(lián)立，由已知可得A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系列式求得直線(xiàn)的斜率，得到直線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得答案．

解答 解：由圓C：x²+y²-6x+5=0，得（x-3）²+y²=4，
畫(huà)出圖形如圖，
設(shè)OB所在直線(xiàn)方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-6x+5=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由題意可得：x₂=2x₁，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=3{x}_{1}=\frac{6}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=2{{x}_{1}}^{2}=\frac{5}{1+{k}^{2}}$，
消去x₁ 得：${k}^{2}=\frac{3}{5}$，∴k=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．
由對(duì)稱(chēng)性，不妨取k=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
則直線(xiàn)方程為$y=\frac{\sqrt{15}}{5}x$，即$\sqrt{15}x-5y=0$，
則圓心C（3，0）到直線(xiàn)的距離為d=$\frac{|3\sqrt{15}-5×0|}{\sqrt{15+25}}=\frac{3\sqrt{15}}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系故選的運(yùn)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的用法，是中檔題．