Question

14．有一個(gè)小型慰問演出隊(duì)，其中有2人會(huì)唱歌，有5人會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選2人．設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$．
（I）求該演出隊(duì)的總?cè)藬?shù)；
（Ⅱ）求ξ的分布列并計(jì)算Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則該演出隊(duì)的總?cè)藬?shù)為（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人，由已知得P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，由此能求出該演出隊(duì)的總?cè)藬?shù)．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則該演出隊(duì)的總?cè)藬?shù)為（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人，
∵ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，解得x=2，
∴該演出隊(duì)的總?cè)藬?shù)為5人．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．