Question

1．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與其交于M、N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4（x-2）．

Answer 1

分析 先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法將MN所在的直線方程設(shè)出來(lái)，得到其參數(shù)方程，與拋物線方程聯(lián)立得到M，N的橫縱坐標(biāo)所滿足的參數(shù)方程x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，再利用平行四邊形對(duì)角線交于中點(diǎn)的性質(zhì)，求出點(diǎn)P（x，y），的參數(shù)方程，消參數(shù)后即可得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)所滿足的方程，

解答 解：由已知拋物線y²=4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設(shè)線段MN與線段OP的交點(diǎn)為H（x′，y′），P（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)，H是OP的中點(diǎn)，
∴x′=$\frac{1}{2}$x，y′=$\frac{1}{2}$y     ①
當(dāng)直線MN的方程為x=1時(shí)，中點(diǎn)就是F，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
當(dāng)直線的斜率存在在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線MN的方程可設(shè)為y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$
M，N的中點(diǎn)為H，故有x′=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y′=$\frac{2}{k}$
又由①，可得x=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{k}$
兩式聯(lián)立消去k得x=2+$\frac{{y}^{2}}{4}$，整理得y²=4（x-2），
驗(yàn)證知（2，0）在y²=4（x-2）上．
故答案為：y²=4（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．