Question

16．函數(shù)f（x）=a²lnx+x²-3ax在x=1處取到極小值，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． 1或2

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=0，求出a的值檢驗(yàn)即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$+2x-3a，f′（1）=a²-3a+2=0，
解得：a=1或2，
a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；
a=2時(shí)，f′（x）=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故x=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意；
故a=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．