已知直線l：
x
a
+
y
b
=1（a＞2，b＞2）分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，且與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．
考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程
專題：計(jì)算題,直線與圓
分析：（1）由于直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求a與b滿足的關(guān)系；
（2）假設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及（1）的結(jié)論，可求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．
解答： 解：①⊙C可化為：（x-1）2+（y-1）2=1
圓心C（1，1），r=1（3分）
由題意，直線l的方程直線l：
x
a
+
y
b
=1（a＞2，b＞2），即 bx+ay-ab=0
∵直線與圓相切，
∴
|b+a-ab|
a2+b2
=1
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y）
則a=2x，b=2y代入（a-2）（b-2）=2得：（x-1）（y-1）=
1
2
（x＞1，y＞1）（12分）
點(diǎn)評：本題以直線與圓相切為載體，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求法，有一定的綜合性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P在區(qū)域Ω：|x-a|+|y-b|≤c（c＞0）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則P落在Ω的內(nèi)切圓內(nèi)的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的長軸長、短軸長、焦距和離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+
a
x
+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值．

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用輾轉(zhuǎn)相除法求459與357的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)．

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若函數(shù)f（x）=sin（3x+ϕ）滿足f（a+x）=f（a-x），則f(a+
π
6
)的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知第一個(gè)三角形的周長為1，它的三條中位線組成第二個(gè)三角形，第二個(gè)三角形的三條中位線又組成第三個(gè)三角形，以此類推，則第2003個(gè)三角形的周長為（　　）
A、
1
22000
B、
1
22001
C、
1
22002
D、
1
22003

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(-
3
2
，
5
2
)與(
3
，
5
)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞b，則下列式子成立的是（　　）
A、
1
a
＞
1
b
B、
1
a
＜
1
b
C、a2＞b2
D、a-3＞b-3

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