Question

已知函數(shù)f（x）=2x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），在求出f（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類求解導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性與極值，是壓軸題．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=2x+

3

a

+lnx，
f′(x)=2+

1

x

-

3

x2

，
則f(1)=2×1+

3

1

+ln1=5，f′（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y-5=0；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′(x)=2+

1

x

-

a

x2

=

2x2+x-a

x2

．
記g（x）=2x²+x-a，△=1+8a．
①當(dāng)△=1+8a≤0，即a≤-

1

8

時(shí)，g（x）=2x²+x-a≥0恒成立（當(dāng)x=

1

4

時(shí)取“=”），
則f′(x)=2+

1

x

-

a

x2

=

2x2+x-a

x2

＞0在（0，+∞）上恒成立，
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
②當(dāng)a＞-

1

8

時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1=

-1- 1+8a

4

＜0，
x2=

-1+ 1+8a

4

．
令1+8a＞1，則a＞0，此時(shí)x₂＞0，則x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0；
x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)時(shí)單調(diào)遞減，在x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)時(shí)單調(diào)遞增，
從而函數(shù)f（x）的極小值為f(

-1+ 1+8a

4

)，無極大值．
而當(dāng)-

1

8

＜a≤0時(shí)，x₂≤0，則有x＞0時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值．
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)函數(shù)f（x）在x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)時(shí)單調(diào)遞減，在x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)時(shí)單調(diào)遞增，
從而函數(shù)f（x）的極小值為f(

-1+ 1+8a

4

)，無極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．