Question

1．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F到雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的漸近線的距離為1，過焦點F且斜率為k的直線與拋物線C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，則k=$±2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線C的焦點F到雙曲線的漸近線距離求出p的值，再利用直線方程與拋物線C的方程聯(lián)立，消去x，求出y的值，利用 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，得出y_A與y_B的關(guān)系式，從而求出k的值．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），
且F到雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的漸近線y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的距離為1，
即漸近線的方程為$\sqrt{3}$x-3y=0，
∴d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}p|}{\sqrt{3+9}}$=1，
解得p=4；即焦點坐標F（2，0），
∴過焦點F斜率為k的直線為y=k（x-2），
與拋物線C：y²=8x聯(lián)立，消去x，得y²=8（$\frac{y}{k}$+2），
整理，得ky²-8y-16k=0，
解得y=$\frac{4±4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$．
又∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴（4-x_A，-y_A）=2（x_B-4，y_B），
∴y_A=-2y_B；
當k＞0時，y_A＞0，y_B＜0，
∴$\frac{4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$=2•（-$\frac{4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$），
解得k=2$\sqrt{2}$；
當k＜0時，y_A＜0，y_B＞0，
∴-$\frac{4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$=2•$\frac{4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$，
解得k=-2$\sqrt{2}$；
∴k=$±2\sqrt{2}$．
故答案為：$±2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，也考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強，有一定的難度．