Question

18．已知：如圖，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，E為AC的中點．ED、CB延長線交于一點F．求證：AC•DF=BC•CF．

Answer 1

分析 先證明∴△ADC∽△CDB，得到$\frac{AD}{CD}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{DC}{BD}$，再結(jié)合條件證明△FDC∽△FBD，可得$\frac{CF}{DF}$=$\frac{DC}{BD}$，則可證得結(jié)論．

解答 證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB，且∠ACD=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{DC}{BD}$，
∵E為AC中點，
∴AE=CE，
∴∠ACD=∠EDC=∠ABC，
∴∠FDB=∠FCD，且∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBD，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{DC}{BD}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CF}{DF}$，
∴AC•DF=BC•CF．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．