Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|
（1）若f（x）＜b，的解集為{x|-1＜x＜2}，求實數(shù)a，b的值；
（2）若a=2時，不等式f（x）+m≥f（x+2）對一切實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件解絕對值不等式求得f（x）＜b的解集，再根據(jù)f（x）＜b的解集為{x|-1＜x＜2}，求得實數(shù)a，b的值．
（2）由題意可得，m≥|2x+2|-|2x-2|恒成立，利用絕對值三角不等式求得|2x+2|-|2x-2|的最大值為4，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x-a|，故f（x）＜b，即|2x-a|＜b，
∴-b＜2x-a＜b，∴$\frac{a-b}{2}$＜x＜$\frac{a+b}{2}$．
再根據(jù)它的解集為{x|-1＜x＜2}，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-b}{2}=-1}\\{\frac{a+b}{2}=2}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=3．
（2）若a=2時，不等式f（x）+m≥f（x+2）對一切實數(shù)x均成立，
即|2x-2|+m≥|2x+2|恒成立，即 m≥|2x+2|-|2x-2|恒成立．
∵|2x+2|-|2x-2|≤|（2x+2）-（2x-2）|=4，當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時，取等號，
故|2x+2|-|2x-2|的最大值為4，∴m≥4．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．