Question

13．如圖，AC是⊙O的直徑，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，DE與⊙O相切于點(diǎn)D，AC的延長線交DE于點(diǎn)E，BC的延長線交DE于點(diǎn)F，且AB∥DE．
（Ⅰ）求證：CD平分∠ACF．
（Ⅱ）若AB=3EF，⊙O的半徑為1，求線段DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明∠ACD=∠DCF，即可證明：CD平分∠ACF．
（Ⅱ）求出AC=2，CE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，由切割線定理得DE²=CE•AE，即可求線段DE的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°①，
∵AB∥DE，
∴∠CFD=∠ABC=90°，
∴∠CDE+∠DCF=90°②，
∵DE與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴∠CDE=∠CAD③
由①②③可得，∠ACD=∠DCF，
∴CD平分∠ACF．
（Ⅱ）解：∵AB∥EF，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵⊙O的半徑為1，
∴AC=2，CE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，
由切割線定理得DE²=CE•AE=$\frac{2}{3}×（\frac{2}{3}+2）$=$\frac{16}{9}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．