Question

2．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方體中心，N是棱A₁B₁上一點(diǎn)，P為正方體的表面動(dòng)點(diǎn)，若滿足OP⊥BN的P點(diǎn)軌跡為曲線E，則當(dāng)N在棱A₁B₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲線E周長的取值范圍是$[{4，2+2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的幾何特征，結(jié)合已知條件，分析出曲線E周長的最值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：當(dāng)N點(diǎn)與A₁點(diǎn)重合時(shí)，
曲線E圍成的區(qū)域?yàn)檎�方體對角邊，如右圖所示：
此時(shí)曲線E周長的取最大值：2+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)N點(diǎn)與B₁點(diǎn)重合時(shí)，
曲線E圍成的區(qū)域?yàn)榕c正方體底面平行的正方形，
如下圖所示：
此時(shí)曲線E周長的取最小值：4；
故曲線E周長的取值范圍是：$[{4，2+2\sqrt{2}}]$，
故答案為：$[{4，2+2\sqrt{2}}]$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是最值及其幾何意義，正方體的幾何特征，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．