Question

7．已知CD是△ABC的邊AB上的高，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，G為BD的中點(diǎn)，且CD=DB=2，AE=$\sqrt{2}$，現(xiàn)沿EF和CD把△AEF和
△BCD折起，使A、B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P．
（1）求證：EG∥平面PFC；
（2）求四棱錐P-CDEF的體積V_P-CDEF．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)H，連接HF，HG．利用三角形的中位線定理可得：GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，$EF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，可得四邊形EFHG是平行四邊形，于是EG∥FH，即可證明EG∥平面PFC；
（II）由CD⊥AB，可得CD⊥ED，CD⊥PD，于是CD⊥平面EPD，平面CDEF⊥平面PED，由EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，可得EP⊥ED，因此EP⊥平面CDEF．V_P-CDEF=$\frac{1}{3}EP•{S}_{CDEF}$．

解答 （1）證明：取PC的中點(diǎn)H，連接HF，HG．
又∵G為BD的中點(diǎn)，
∴GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∵點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，
∴$EF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四邊形EFHG是平行四邊形，
∴EG∥FH，EG?平面PFC，F(xiàn)H?平面PFC，
∴EG∥平面PFC；
（II）解：∵CD⊥AB，
∴CD⊥ED，CD⊥PD，ED∩PD=D，
∴CD⊥平面EPD，CD?平面CDEF，
∴平面CDEF⊥平面PED，平面CDEF∩平面PED=ED，
∵EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，
∴EP²+ED²=PD²，
∴EP⊥ED，
∴EP⊥平面CDEF．
∴EP為四棱錐P-CDEF的高．
∴V_P-CDEF=$\frac{1}{3}EP•{S}_{CDEF}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{（1+2）×\sqrt{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、勾股定理與逆定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．