Question

12．已知圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost+1\\ y=2sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C₂的極坐標方程為ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）把圓C₁的參數(shù)方程化為普通方程，圓C₂極坐標方程化為直角坐標方程
（Ⅱ）判斷圓C₁與C₂是否相交，求公共弦的長度，若不相交，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把圓的參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程，進一步求出圓心和半徑．
（Ⅱ）利用圓的圓心距和半徑之間的關(guān)系式，求出兩圓的位置關(guān)系，進一步利用點到直線的距離，最后求出公共弦長．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost+1\\ y=2sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：（x-1）²+y²=4①，
所以圓C₁的方程是以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓．
圓C₂的極坐標方程為ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$），整理為：
${ρ}^{2}=4ρcos+4\sqrt{3}ρsinθ$，
轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：${x}^{2}+{y}^{2}=4x+4\sqrt{3}y$，
整理成標準式為：$（x-2）^{2}+（y-2\sqrt{3}）^{2}=16$；
②所以圓C₂的方程是以B（2，2$\sqrt{3}$）為圓心，4為半徑的圓．
（Ⅱ）所以：|AB|=$\sqrt{1+（2\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{13}$，
所以：2＜|AB|＜6，
兩圓的位置關(guān)系為相交．
利用①-②得：2x+4$\sqrt{3}$y-3=0，
所以：A（1，0）到直線的距離為：d=$\frac{1}{2\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{26}$，
所截得弦長為：$l=2\sqrt{4-\frac{1}{52}}=\frac{3\sqrt{299}}{13}$．

點評 本題考查的知識要點：曲線的參數(shù)方程與極坐標方程與直角坐標方程的互化，兩圓間的位置關(guān)系的判定，點到直線距離公式的應(yīng)用．