Question

19．關(guān)于函數(shù)f（x）=-cos²x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{3}{2}$，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的是（　�。�

• A． f（x）是奇函數(shù)
• B． f（x）是增函數(shù)
• C． 當(dāng)x＞2015時(shí)，f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立
• D． f（x）的最小值是-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意：y=f（x）的定義域?yàn)閤∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，A不正確．根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可知B不正確；對于C，取特殊值當(dāng)x=1000π時(shí)，驗(yàn)證即可；對于D，f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，cos2x，（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0時(shí)同時(shí)取得最大值，可得結(jié)論．

解答 解：f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，
y=f（x）的定義域?yàn)閤∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，A不正確．
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可知B不正確；
對于C，取特殊值當(dāng)x=1000π時(shí)，x＞2015，$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$，且（$\frac{1}{2}$）^1000π＞0
∴f（1000π）=$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）^1000π＜$\frac{1}{2}$，因此結(jié)論錯(cuò)．
對于D，f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，cos2x，（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0時(shí)同時(shí)取得最大值，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，在x=0時(shí)可取得最小值-$\frac{1}{2}$，即結(jié)論是正確的．
故選：D．

點(diǎn)評 此題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時(shí)還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識(shí)對函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷．