Question

11．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x²-（a-1）x，a∈R．
（1）若f（1）=1，求f（x）在x∈（-∞，0）時的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=1，可得a=1，再由奇函數(shù)的定義，令x＜0，可得f（x）=-f（-x），即可得到解析式；
（2）運用f（x）的奇偶性和單調(diào)性，可得f（k•2^x）＞-f（4^x+1）=f（-1-4^x），即有k•2^x＞-1-4^x，即為-k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，由指數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式可得右邊函數(shù)的最小值，解不等式可得k的范圍．

解答 解：（1）f（1）=1-a+1=1，即a=1，
當x＞0時，f（x）=x²，
由f（x）是R上的奇函數(shù)，
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-x²；
（2）若a=0，當x＞0時，f（x）=x²+x，
可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（x）在（-∞，0）上也是單調(diào)遞增，且f（0）=0，
當x=0，即x²=0，易證f（x）在R上單調(diào)遞增，
所以f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0，即為f（k•2^x）＞-f（4^x+1）=f（-1-4^x），
即有k•2^x＞-1-4^x，即為-k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，
由2^x＞0，可得2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
當且僅當x=0時，取得最小值2，
即有-k＜2，解得k＞-2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的運用及解析式的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．