Question

7．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動，則直線D₁E與A₁D所成角的大小是90°，若D₁E⊥EC，則AE=1．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E（1，t，0），0≤t≤2，分別求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$和$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0，能求出直線D₁E與A₁D所成角的大小；分別求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{EC}$，由$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{EC}$=0，能求出AE的長．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），A₁（1，0，1），C（0，2，0），
設(shè)E（1，t，0），0≤t≤2，
則$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴直線D₁E與A₁D所成角的大小是90°．
∵$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，2-t，0），D₁E⊥EC，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{EC}$=-1+t（2-t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
故答案為：90⁰，1．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．