Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），滿足對任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，關(guān)于函數(shù)g（x），下列說法正確的是（　　）

• A． 其圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱
• B． 函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
• C． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)
• D． x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的周期和ω，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系，求出g（x）的解析式，利用函數(shù)奇偶性，對稱性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵對任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
則$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到y(tǒng)=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，即g（x）=2cos2x
A．g（-$\frac{π}{4}$）=2cos2（-$\frac{π}{4}$）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=0≠±1，則圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$不對稱，故A錯誤，
B．g（x）=2cos2x是偶函數(shù)，故B錯誤，
C．當(dāng)$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{2}$≤2x≤π時，此時函數(shù)g（x）為減函數(shù)，故C錯誤，
D．若x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，則2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，則2cos2x∈[2cosπ，2cos$\frac{π}{3}$]，
即2cos2x∈[-2，1]，
即函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]，故D錯誤，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．