Question

8．證明f（x）=x+$\frac{2}{x}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，通過(guò)作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)增函數(shù)的定義，只需說(shuō)明f（x₁）＜f（x₂）即可

解答 解：證明：任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）（x₁$+\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂$+\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因?yàn)?\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+$\frac{2}{x}$在[$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，單調(diào)性的證明方法主要有：定義法；導(dǎo)數(shù)法，要熟練掌握．