Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$2{cos^2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）D為邊BC上一點(diǎn)，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角余弦公式的變形、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)式子，再由內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式即可求出cosA的值，由內(nèi)角的范圍求出角A；
（Ⅱ）由條件可得AD和∠DAC，在△ACD中利用正弦定理化簡(jiǎn)列出方程，再由內(nèi)角的關(guān)系求出角B并代入式子，利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求出tanC．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?2co{s}^{2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
所以$[1+cos（A-B）]cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
$cosB+cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
$cosB+cosA+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
因?yàn)閏os（A+C）=cos（π-B）=-cosB，
所以代入上式可得，$cosA=-\frac{1}{2}$，則A=$\frac{2π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)椤螪AB=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$，所以AD=BD•sinB，∠DAC=$\frac{π}{6}$．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{CD}{sin∠DAC}$，
因?yàn)锽D=3CD，所以3sinB=2sinC，
由B=π-A-C=$\frac{π}{3}$-C得，3sin（$\frac{π}{3}$-C）=2sinC，
則$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{3}{2}$sinC=2sinC，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC=$\frac{7}{2}$sinC，
整理得tanC=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦公式，二倍角余弦公式的變形，注意三角形內(nèi)角的關(guān)系以及范圍，屬于中檔題．