Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx，a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（e，e²]上既有最大值又有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，（x＞0，a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；函數(shù)有極小值，
∴f（x）_極小值=f（$\sqrt{a}$）=a-2alna；
（2）若函數(shù)f（x）在（e，e²]上單調(diào)，則函數(shù)沒有最大值或最小值，不合題意，
結(jié)合（1）得：函數(shù)f（x）在（e，e²]上先遞減再遞增，
∴e＜$\sqrt{a}$＜e²，且f（e）≤f（e²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{{e}^{2}-2alne{≤e}^{4}-2al{ne}^{2}}\end{array}\right.$，解得：e²＜a≤$\frac{{e}^{4}{-e}^{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第二問確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．