Question

15．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=16，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，b₁=2且b_n+1-2b_n=0．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求；
（2）求得c_n=a_nb_n=（3n+1）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由a₂=7，a₅=16，可得3d=9，解得d=3，a_n=a₂+（n-2）d=3n+1；
由b₁=2且b_n+1-2b_n=0，可得q=2，b_n=2ⁿ；
（2）c_n=a_nb_n=（3n+1）•2ⁿ，
前n項(xiàng)和S_n=4•2+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，
2S_n=4•2²+7•2³+10•2⁴+…+（3n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，可得-S_n=8+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
=8+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
化簡(jiǎn)可得，S_n=4+（3n-2）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．