【題目】已知函數,其中;
(l)判斷函數是否存在極值,若存在,請判斷是極大值還是極小值;若不存在,說明理由;
(2)討論在上函數的零點個數.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1) ,設,,因此單調遞減,,討論正負即可判斷出極值情況;
(2)由(1)可知若時,恒為增函數,計算可知,此時無零點, 若時, ,可求得,討論與的關系,及若,,函數在區(qū)間的單調性及函數值在區(qū)間端點的符號,即可得出結論.
(1),設,
,因此單調遞減,
,
又時,,
若,即時,
,使;
當時,,單調遞增,
當時,,單調遞減,
在處取極大值,不存在極小值.
若,即,,
在單調遞增,此時無極值.
(2)由第一問結論可知:
(i)若時,由上問可知:
,
即時函數沒有零點.
(ii)若時,時單調遞增;
時,單調遞減.
由,得,
從而,再設,
則,從而a關于單調遞增.
①若,此時,
若得或,
所以時無零點;
若得,
所以時有一個零點;
當,,有一個零點.
因此時無零點;
時有一個零點;
②此時,
,,
,
設,
則,
所以,
若即,即時無零點;
若即,即時有一個零點.
綜上所述:時無零點;
時有一個零點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】發(fā)展“會員”、提供優(yōu)惠,成為不少實體店在網購沖擊下吸引客流的重要方式.某連鎖店為了吸引會員,在2019年春節(jié)期間推出一系列優(yōu)惠促銷活動.抽獎返現便是針對“白金卡會員”、“金卡會員”、“銀卡會員”、“基本會員”不同級別的會員享受不同的優(yōu)惠的一項活動:“白金卡會員”、“金卡會員”、“銀卡會員”、“基本會員”分別有4次、3次、2次、1次抽獎機會.抽獎機如圖:抽獎者第一次按下抽獎鍵,在正四面體的頂點出現一個小球,再次按下抽獎鍵,小球以相等的可能移向鄰近的頂點之一,再次按下抽獎鍵,小球又以相等的可能移向鄰近的頂點之一……每一個頂點上均有一個發(fā)光器,小球在某點時,該點等可能發(fā)紅光或藍光,若出現紅光則獲得2個單位現金,若出現藍光則獲得3個單位現金.
(1)求“銀卡會員”獲得獎金的分布列;
(2)表示第次按下抽獎鍵,小球出現在點處的概率.
①求,,,的值;
②寫出與關系式,并說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知曲線的參數方程為(為參數).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.
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【題目】若數列滿足,,記數列的前n項和是,則( )
A.若數列是常數列,則
B.若,則數列單調遞減
C.若,則
D.若,任取中的9項構成數列的子數列,則不全是單調數列
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【題目】唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫,體現了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設內壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖2所示.已知球的半徑為R,酒杯內壁表面積為,設酒杯上部分(圓柱)的體積為,下部分(半球)的體積為,則( )
A.2B.C.1D.
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【題目】2020年新型冠狀病毒肺炎(簡稱“新冠肺炎”)成為威脅全球的公共衛(wèi)生問題,中醫(yī)藥在本次新冠肺炎的治療中發(fā)揮了重要作用.研究人員對66例普通型新冠肺炎恢復期患者進行了中醫(yī)臨床特征分析,發(fā)現主要證型有氣陰兩虛證與肺脾氣虛證,同時可能兼夾濕證.為研究這兩種主要證型在兼夾濕證的難易上是否有差異,研究人員將濕證癥狀分級量化,將所有肺脾氣虛證患者的量化分作成莖葉圖.
(1)若量化分不低于16分,即可診斷為兼夾濕證,請參考莖葉圖,完成下面列聯表.
夾濕證 | 非夾濕證 | 合計 | |
氣陰兩虛 | 20 | ||
肺脾氣虛 | |||
合計 | 66 |
(2)根據此資料,能否有99%的把握認為兩種主要證型在兼夾濕證的難易上有差異?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】函數f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列說法正確的是( )
A.當a=1時,f(x)在(0,f(0))處的切線方程為2x-y+1=0
B.當a=1時,f(x)存在唯一極小值點x0且-1<f(x0)<0
C.對任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零點
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一個零點
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