Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）異面直線和所成角的余弦值為，求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（Ⅱ）根據(jù)題意可求出，在中，利用余弦定理求出，由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.

（Ⅰ）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)樵谥比�棱�?/span>中，四邊形是矩形，

所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)槔庵?/span>是直三棱柱，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，

因?yàn)楫惷嬷本�和所成角的余弦值為.

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以.

根據(jù)余弦定理，在中，，

可得，

因?yàn)?/span>，，所以由勾股定理可得，

因?yàn)?/span>，，，

所以平面，

同理平面，

所以

.

所以幾何體的體積為2.