Question

5．已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0．
（1）若函數(shù)y=f（x）-x有唯一零點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（3）當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)定理可得方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，解得即可，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，
（3）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可

解答 解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x²-2x）
（1）函數(shù)y=f（x）-x有唯一零點(diǎn)，即方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，
∴（2a+1）²=0，解得a=-$\frac{1}{2}$
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x                   …（5分）
（2）∵f（x）=a（x²-2x）=a[（x-1）²-1]，x∈[-1，2]…（6分）
若a＞0，則f（x）_max=f（-1）=3a         …（8分）
若a＜0，則f（x）_max=f（1）=-a                   …（10分）
（3）當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2-a成立，即：
a≥$\frac{2}{（x-1）^{2}}$在區(qū)間[2，+∞），
設(shè)g（x）=$\frac{2}{（x-1）^{2}}$，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，+∞）為減函數(shù)，g（x）_max=g（2）=2
當(dāng)且僅當(dāng)a≥g（x）_max時(shí)，不等式f（x）≥2-a²在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，
因此a≥2                             …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值和恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．