Question

3．已知abc≠0，方程（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，求證：$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{c}$-$\frac{1}$．

Answer 1

分析 令f（x）=（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac），則f（1）=c（a-b）+b（c-a）+a（b-c）=0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得證．

解答 證明：令f（x）=（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac），
則f（1）=ac-bc+bc-ab+ab-ac=0，
即有1為f（x）=0的根，
由題意可得f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根1，
則1×1=$\frac{ab-ac}{ac-bc}$，
即有ab-ac=ca-cb，
即2ac=b（a+c），
即為 $\frac{2}$=$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$，整理可得：$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{c}$-$\frac{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)和二次方程的關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．