Question

18．有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)．
（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置，共72種排法．
（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起，共36種排法．
（3）全體排成一行，男生不能排在一起，共12種排法．
（4）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變，共20種排法．
（5）全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊，共78種排法．
（6）若再加入一名女生，全體排成一行，男女各不相鄰，共144種排法．
（7）排成前后兩排，前排3人，后排2人，共120種排法．
（8）全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有1人，共36種排法．

Answer 1

分析 對8個小題，分別采用恰當(dāng)?shù)姆椒�，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）利用元素分析法，甲為特殊元素，先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇．有3種，其余4人全排列，有A₄⁴種．由乘法原理得3A₄⁴=72種；
（2）捆綁法，將男生看成一個整體，進(jìn)行全排列，有A₃³種，再與2名女生進(jìn)行全排列有A₃³種，故共有A₃³A₃³=36種；
（3）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，共有A₂²A₃³=12種；
（4）定序排列用除法，共有$\frac{{A}_{5}^{5}}{{A}_{3}^{3}}$=20種；
（5）位置分析法（特殊位置優(yōu)先安排）．先排最左邊，除去甲外，余下的4個位置全排有A₄¹A₄⁴，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)A₃¹A₃³種．故共有A₄¹A₄⁴-A₃¹A₃³=78種；
（6）插空法，先排男生，再將女生插入其中的四個空位，共有A₃³A₄³=144種；
（7）與無任何限制的排列相同，共有A₅⁵=120種；
（8）從除甲、乙以外的3人中選1人排在甲、乙中間的排法有3種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有A₂²A₃³種，最后再把選出的1人的排列插入到甲、乙之間即可，共有3A₂²A₃³=36種．
故答案為：72；36；12；20；78；144；120；36．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．