Question

6．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．

Answer 1

分析 方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根可化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$與函數(shù)y=mx-$\frac{1}{2}$有四個不同的交點(diǎn)，作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$與函數(shù)y=mx-$\frac{1}{2}$的圖象，由數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：方程f（x）=mx-$\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根可化為
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$與函數(shù)y=mx-$\frac{1}{2}$有四個不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$與函數(shù)y=mx-$\frac{1}{2}$的圖象如下，

由題意，C（0，-$\frac{1}{2}$），B（1，0）；
故k_BC =$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$；
設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，lnx₁），
則$\frac{ln{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}-0}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$；
解得，x₁=$\sqrt{e}$；
故k_AC =$\frac{1}{\sqrt{e}}$；
結(jié)合圖象可得，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及函數(shù)的圖象的作法與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．