Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{-n-1}}{a-{a}^{-1}}$（n∈N^*），a≠-1，0，1，設(shè)b=a+$\frac{1}{a}$．
（1）求證：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）當(dāng)n（n∈N^*）為奇數(shù)時，a_n=$\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}（-1）^{i}$C${\;}_{n-1}^{i}$b^n-2i，猜想當(dāng)n（n∈N^*）為偶數(shù)時，a_n關(guān)于b的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）作差證明即可，
（2）猜想a_n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進行證明．

解答 證明（1）ba_n-a_n-1=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{n+1}-{a}^{-n-1}）}{a-{a}^{-1}}$-$\frac{{a}^{n}-{a}^{-n}}{a-{a}^{-1}}$=$\frac{{a}^{n+2}-{a}^{-n-2}}{a-{a}^{-1}}$=a_n+1，
（2）猜想n（n∈N^*）為偶數(shù)時，有a_n=$（-1）^{i}{C}_{n-i}^{i}^{n-2i}$；
下面同數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想，
①當(dāng)n=2時，a₂=$\frac{{a}^{3}-{a}^{-3}}{a-{a}^{-1}}$=a²+a+a^-2=（a+$\frac{1}{a}$）²-1=b²-1，結(jié)論成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時（k為偶數(shù)）時，結(jié)論成立，
即a_k=（-1）ⁱ${C}_{k-i}^{i}$b^-2i=b^k-${C}_{k-1}^{1}^{k-2}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k}^{i}^{k-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$．此時k+為奇數(shù)，
∴a_k+1=$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}$b^k+1-2i=b^k+1-${C}_{k+1}^{1}^{k-1}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}^{k+1-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}{C}_{\frac{k+2}{2}}^{\frac{k}{2}}b$，
當(dāng)n=k+2（k為偶數(shù)時），
a_k+2=ba_k+1-a_k=[$^{k+2}-{C}_{k}^{1}^{k}+…+$$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}^{k+2-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$${C}_{\frac{k+2}{2}}^{\frac{k}{2}}$b²]-[$^{k}-{C}_{k-1}^{1}^{k-2}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k-i}^{i}^{k-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$]，
=b^k+2-b^k+…+$（-1）^{i}（{C}_{k+1-i}^{i}+$${C}_{k-（i-1）}^{i-1}$）b^k+2-2ib^k+2-2i+…+$（-1）^{\frac{k+2}{2}}$，
=b^k+2-b^k+…+$（-1）^{i}{C}_{k+2-i}^{i}$b^k+2-2i+…+$（-1）^{\frac{k+2}{2}}$，
=$（-1）^{i}{C}_{k+2-i}^{i}^{k+2-2i}$，結(jié)論也成立，
根據(jù)①②，可知當(dāng)n（n∈N^*）為偶數(shù)時，均有a_n=$（-1）^{i}{C}_{n-i}^{i}^{n-2i}$

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查猜想與證明，正確運用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．