Question

1．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過原點的兩條直線l₁和l₂分別與Γ交于點A、B和C、D，得到平行四邊形ACBD．
（1）當ACBD為正方形時，求該正方形的面積S；
（2）若直線l₁和l₂關于y軸對稱，Γ上任意一點P到l₁和l₂的距離分別為d₁和d₂，當d₁²+d₂²為定值時，求此時直線l₁和l₂的斜率及該定值．
（3）當ACBD為菱形，且圓x²+y²=1內切于菱形ACBD時，求a，b滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）通過ACBD為正方形可知直線l₁和l₂的方程為y=x和y=-x，進而聯(lián)立直線與橢圓方程，利用對稱性即得結論；
（2）通過妨設直線l₁的方程為y=kx，則直線l₂的方程為y=-kx，設P（x₀，y₀），利用點到直線的距離公式及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，整理可知${tdr24rq_{1}}^{2}$+${77beo9l_{2}}^{2}$的表達式，進而利用d₁²+d₂²為定值計算即得結論；
（3）通過設AC與圓x²+y²=1相切的切點坐標為（x₀，y₀），聯(lián)立切線AC的方程與橢圓方程，分x₀=0或y₀=0、x₀≠0或y₀≠0兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵ACBD為正方形，
∴直線l₁和l₂的方程為y=x和y=-x，
設點A、B的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
由對稱性可知，S=4${{x}_{1}}^{2}$=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
（2）由題意，不妨設直線l₁的方程為y=kx，則直線l₂的方程為y=-kx，
設P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
又∵d₁=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=$\frac{|k{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${tpzcqlo_{1}}^{2}$+${x7xwky2_{2}}^{2}$=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
將${{y}_{0}}^{2}$=b²（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$）代入上式，
得${ovj44je_{1}}^{2}$+${so26mgf_{2}}^{2}$=$\frac{2（{k}^{2}-\frac{^{2}}{{a}^{2}}）{{x}_{0}}^{2}+2^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵d₁²+d₂²為定值，
∴k²-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=0，即k=±$\frac{a}$，
于是直線l₁和l₂的斜率分別為$\frac{a}$和-$\frac{a}$，此時${crup7ao_{1}}^{2}$+${ut9c4yt_{2}}^{2}$=$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
（3）設AC與圓x²+y²=1相切的切點坐標為（x₀，y₀），
則切線AC的方程為：x₀x+y₀y=1，
點A、C的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）為方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$的實數(shù)解．
①當x₀=0或y₀=0時，ACBD均為正方形，
橢圓均過點（1，1），于是有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1；
②當x₀≠0或y₀≠0時，將y=$\frac{1}{{y}_{0}}$（1-x₀x）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
整理得：（a²${{x}_{0}}^{2}$+b²${{y}_{0}}^{2}$）x²-2a²x₀x-a²（1+b²${{y}_{0}}^{2}$）=0，
由韋達定理可知x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+^{2}{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可知y₁y₂=$\frac{^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+^{2}{{y}_{0}}^{2}}$，
∵ACBD為菱形，
∴AO⊥CO，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+^{2}{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+^{2}{{y}_{0}}^{2}}$=0，
整理得：a²+b²=a²b²（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$），
又∵${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
∴a²+b²=a²b²，即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1；
綜上所述，a，b滿足的關系式為$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．