Question

【題目】已知n為正整數(shù)，試比較n2與2n的大小．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：從n=1開始逐個驗(yàn)證，得出一般規(guī)律，猜想當(dāng)時，n2＜2n，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。也可以通出畫出的圖像，就知道需要逐個驗(yàn)證找到分界。

試題解析：　當(dāng)n＝1時，n2＜2n；

當(dāng)n＝2時，n2＝2n；

當(dāng)n＝3時，n2＞2n；

當(dāng)n＝4時，n2＝2n；

當(dāng)n＝5時，n2＜2n;

當(dāng)n＝6時，n2＜2n.

猜想：當(dāng)n≥5且n∈N*時，n2＜2n.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝5時，由上面的探求可知猜想成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥5且k∈N*)時，猜想成立，即2k＞k2，

則當(dāng)n＝k＋1時，2·2k＞2k2，

∵2k2－(k＋1)2＝k2－2k－1＝(k－1)2－2，

當(dāng)k≥5時，(k－1)2－2＞0，

∴2k2＞(k＋1)2，

從而2k＋1＞(k＋1)2，

所以當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立．

綜合①②可知，對于n∈N*，猜想都成立．