【題目】平面直角坐標系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率是 ,拋物線E:x2=2y的焦點F是C的一個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線l與C交與不同的兩點A,B,線段AB的中點為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.
①求證:點M在定直線上;
②直線l與y軸交于點G,記△PFG的面積為S1 , △PDM的面積為S2 , 求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.

【答案】
(1)

解:由題意可得e= = ,拋物線E:x2=2y的焦點F為(0, ),

即有b= ,a2﹣c2=

解得a=1,c=

可得橢圓的方程為x2+4y2=1;


(2)

解:①證明:設(shè)P(x0,y0),可得x02=2y0,

由y= x2的導數(shù)為y′=x,即有切線的斜率為x0

則切線的方程為y﹣y0=x0(x﹣x0),

可化為y=x0x﹣y0,代入橢圓方程,

可得(1+4x02)x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

可得x1+x2= ,即有中點D( ,﹣ ),

直線OD的方程為y=﹣ x,可令x=x0,可得y=﹣

即有點M在定直線y=﹣ 上;

②直線l的方程為y=x0x﹣y0,令x=0,可得G(0,﹣y0),

則S1= |FG||x0|= x0 +y0)= x0(1+x02);

S2= |PM||x0 |= (y0+ = x0 ,

= ,

令1+2x02=t(t≥1),則 = = = =2+ =﹣( 2+ ,

則當t=2,即x0= 時, 取得最大值

此時點P的坐標為( , ).


【解析】(I)運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標,以及橢圓的a,b,c的關(guān)系,解得a,b,進而得到橢圓的方程;(2)(i)設(shè)P(x0 , y0),運用導數(shù)求得切線的斜率和方程,代入橢圓方程,運用韋達定理,可得中點D的坐標,求得OD的方程,再令x=x0 , 可得y=﹣ .進而得到定直線;(ii)由直線l的方程為y=x0x﹣y0 , 令x=0,可得G(0,﹣y0),運用三角形的面積公式,可得S1= |FG||x0|= x0 +y0),S2= |PM||x0 |,化簡整理,再1+2x02=t(t≥1),整理可得t的二次方程,進而得到最大值及此時P的坐標.
本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的離心率和拋物線的焦點坐標,考查直線和拋物線斜的條件,以及直線方程的運用,考查三角形的面積的計算,以及化簡整理的運算能力,屬于難題.

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(參考數(shù)據(jù):lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
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B.2019年
C.2020年
D.2021年

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