【題目】對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1,a2,…,an,定義變換T1,T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B:b1,b2,…,bm,定義變換T2,T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列T2(B).又定義S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+++…+.設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…).
(1)如果數(shù)列A0為2,6,4,8,寫出數(shù)列A1,A2;
(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明:S(T1(A))=S(A);
(3)證明:對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當(dāng)k≥K時(shí),S(Ak+1)=S(Ak).
【答案】(1)A1:7,5,4,3,1;A2:6,5,4,3,2.(2)見解析(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由A0:2,6,4,8,求得T1(A0),再通過求解。(2)設(shè)有窮數(shù)列A,求得T1(A),再求得S(T1(A)),兩者作差比較。(3)設(shè)A是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列a1,a2,…,,在存在1≤i<j≤n,使得時(shí),交換數(shù)列A的第i項(xiàng)與第j項(xiàng)得到數(shù)列B,,在存在1≤m<n,使得am+1=am+2=an=0條件下,若記數(shù)列a1,a2,…為C,
Ak+1=T2(T1(Ak)), S(Ak+1)≤S(T1(Ak)),由S(T1(Ak))=S(Ak),得到S(Ak+1)≤S(Ak),S(Ak)是大于2的整數(shù),所以經(jīng)過有限步后,必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=0.
試題解析: (1) A0:2,6,4,8;T1(A0):4,1,5,3,7,A1:7,5,4,3,1;T1(A1):5,6,4,3,2,0,
∴A2:6,5,4,3,2.
(2)證明 設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A為a1,a2,…,
則T1(A)為n,a1-1,a2-1,…,-1,
從而S(T1(A))=2[n+2(a1-1)+3(a2-1)+…+(n+1)(-1)]+n2+(a1-1)2+(a2-1)2+…+(-1)2.
又S(A)=2(a1+2a2+…+nan)+++…+,
所以S(T1(A))-S(A)=2[n-2-3-…-(n+1)]+2(a1+a2+…+an)+n2-2(a1+a2+…+)
+n=-n(n+1)+n2+n=0,
故S(T1(A))=S(A).
(3)證明:設(shè)A是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列a1,a2,…,
當(dāng)存在1≤i<j≤n,使得時(shí),交換數(shù)列A的第i項(xiàng)與第j項(xiàng)得到數(shù)列B,
則S(B)-S(A)=
當(dāng)存在1≤m<n,使得am+1=am+2=an=0時(shí),若記數(shù)列a1,a2,…為C,
則S(C)=S(A).
所以S(T2(A))≤S(A).
從而對(duì)于任意給定的數(shù)列A0,由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2),
可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak)).
又由(2)可知S(T1(Ak))=S(Ak),
所以S(Ak+1)≤S(Ak).
即對(duì)于k∈N,要么有S(Ak+1)=S(Ak),
要么有S(Ak+1)≤S(Ak)-1.
因?yàn)?/span>S(Ak)是大于2的整數(shù),所以經(jīng)過有限步后,
必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=0.
即存在正整數(shù)K,當(dāng)k≥K時(shí),S(Ak+1)=S(A).
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【題目】已知橢圓C: =1過點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
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(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中c為常數(shù),且函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn).
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(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】下列說法中,正確的是______(填上所有符合條件的序號(hào))
①y=e-x在R上為增函數(shù)
②任取x>0,均有3x>2x
③函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a可能有兩個(gè)交點(diǎn)
④y=2|x|的最小值為1;
⑤與y=3x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)為y=log3x.
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【題目】設(shè)函數(shù),其中.
()若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
()求函數(shù)的極值.
()若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)為5元,銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如圖所示.
銷售單價(jià)/元 | … | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 8.5 | … |
日均銷售量/桶 | … | 480 | 460 | 440 | 420 | 400 | 380 | … |
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?
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【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司為推廣線下分店,計(jì)劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店.為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),y表示這x個(gè)分店的年收入之和.
x(個(gè)) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(百萬元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)在年收入之和為2.5(百萬元)和3(百萬元)兩區(qū)中抽取兩分店調(diào)查,求這兩分店來自同一區(qū)的概率
(2)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤(rùn)z(單位:百萬元)與x,y之間的關(guān)系為z=y-0.05x2-1.4,請(qǐng)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店,才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大?
參考公式:
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