Question

4．若實(shí)數(shù)x，y滿足2x²+xy-y²=1，則$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可得到（x+y）（2x-y）=1，且5x²-2xy+2y²=（x+y）²+（2x-y）²，從而便可得出$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}=\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}$，可討論x-2y=0，大于0和小于0的情況，從而由基本不等式即可求出$\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}$的范圍，即得出$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}$的范圍，從而得出要求的最大值．

解答 解：由2x²+xy-y²=1得，（x+y）（2x-y）=1；
∴5x²-2xy+2y²=（x+y）²+（2x-y）²
=[（2x-y）-（x+y）]²+2
=（x-2y）²+2；
∴$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}=\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}$；
∴（1）x-2y=0時(shí)，$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}=0$；
（2）x-2y＞0時(shí)，$\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}=\frac{1}{（x-2y）+\frac{1}{x-2y}}≤\frac{1}{2}$；
即$0＜\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}≤\frac{1}{2}$；
（3）x-2y＜0時(shí)，$\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}=\frac{1}{（x-2y）+\frac{1}{x+2y}}$=$-\frac{1}{-（x-2y）+\frac{1}{-（x-2y）}}≥-\frac{1}{2}$；
即$-\frac{1}{2}≤\frac{x-2y}{（x-2y）^{2}+2}＜0$；
∴綜上得，$-\frac{1}{2}≤\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{x-2y}{5{x}^{2}-2xy+2{y}^{2}}$的最大值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查分解因式的應(yīng)用，完全平方式的應(yīng)用，以及應(yīng)用基本不等式求變量取值范圍的方法，應(yīng)用基本不等式要注意所具備的條件．