Question

14．給出以下四個命題，其中真命題的序號為①④．
①若命題p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0”，則?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；
②線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱；
③用相關指數R²來刻畫回歸效果，R²越小，說明模型的擬合效果越好；
④若x，y滿足x²+y²+xy=1，則x+y的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 ①根據特稱命題的否定是全稱命題進行判斷，
②根據線性相關系數與相關性的關系進行判斷，
③根據關指數R²的大小和模型的擬合關系進行判斷，
④利用代入消元法結合判別式△的關系進行求解．

解答 解：①若命題p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0”，則￢p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；故①正確，
②根據線性相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱；故②錯誤，
③用相關指數R²來刻畫回歸效果，R²越大，說明模型的擬合效果越好；故③錯誤，
④設x+y=m，得y=m-x，代入x²+y²+xy=1得x²-mx+m²-1=0，
由判別式△=m²-4（m²-1）≥0得m²≤$\frac{4}{3}$，
即-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$≤m≤$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
則x+y的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$正確，故④正確，
故答案為：①④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．