Question

已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：
①若m⊥α，m⊥β，則α⊥β；
②若m∥α，m∥β，則α∥β；
③若m⊥α，m∥β，則α⊥β；
④若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直．
其中正確的命題的題號為

 

．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解．

解答： 解：①若m⊥α，m⊥β，則α⊥β，
此命題不正確，因為由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命題錯誤；
②若m∥α，m∥β，則α∥β，
此命題錯誤，因為兩個平面平行于同一條直線不能保證兩個平面平行；
③若m⊥α，m∥β，則α⊥β，
此命題正確，因為m∥β，則一定存在直線n在β，使得m∥n，
又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
④若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直，
此命題正確，因為兩異面直線一定存在一條公垂線，
此公垂線與一條線所成的平面一定與兩條異面直線中的另一條垂直，
故若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直是正確的．
綜上知③④是正確命題．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．